己知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα．

解题思路：把已知等式左边的角β变为（α+β）-α，右边的角2α+β变为（α+β）+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos（α+β），利用同角三角函数间的基本关系变形可得证．

证明：将条件化为：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
展开得：3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即：2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，
由cos（α+β）cosα≠0，两边同除以cos（α+β）cosα，
可得：tan（α+β）=2tanα．（12分）

点评：
本题考点： 三角函数恒等式的证明；角的变换、收缩变换．

考点点评： 此题考查了三角函数的恒等式的证明，用到的知识有：两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，把已知等式左右两边的角度灵活变换是本题的突破点．

3sin[(a+b)-a]=3[sin(a+b)cosa-cos(a+b)sina]
sin(2a+b)=sin[(a+b)+a]=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina
所以
3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina
sin(a+b)cosa=2cos(a+b)sina
sin(a+b)/cos(a+b)=2sina/cosa
tan(a+b)=2tana

3sinβ=sin（2α+β）
全部展开，找出α，β对应的三角关系，然后结合又边变形，可以算出来