（2013•盐城一模）若数列{an}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn=3n-t．

解题思路：（1）根据等差数列的通项公式，可得a_n=6n-12t；再由数列前n项和与第n项的关系，即可算出{b_n}的通项公式；
（2）由{b_n}是等比数列，结合（1）的通项公式可得b_n=2•3^n-1，算出出t=1从而得到a_n=6n-12t．通过变形整理，得到b_n+1=6（3^n-1+2）-12，从而得到存在c_n=3^n-1+2∈N^*，使 acn=b_n+1成立，由等比数列求和公式即可算出{c_n}的前n项和T_n；
（3）根据（1）的结论，得dn＝

6(3−t)(1−2t)，n＝1 4(n−2t)•3n，n≥2

，由此进行作差，得d_n+1-d_n=8[n-（2t-[3/2]）]•3ⁿ（n≥2）．因此，分t＜[7/4]、2≤2t−

3

2

＜3和m≤2t−

3

2

＜m+1（m∈N且m≥3）三种情况加以讨论，分别根据数列{d_n}的单调性解关于t的不等式，最后综合即可得到实数t的取值范围．

（1）∵{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列，
∴a_n=（6-12t）+（n-1）×6=6n-12t…（2分）
而数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t，所以
当n≥2时，b_n=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
又∵b₁=S₁=3-t，
∴bn＝

3−tn＝1
2•3n−1n≥2 …（4分）
（2）∵数列{b_n}是等比数列，∴b₁=3-t=2•3^1-1=2，解之得t=1，
因此，b_n=2•3^n-1，且a_n=6n-12 …（5分）
对任意的n（n∈N，n≥1），由于b_n+1=2•3ⁿ=6•3^n-1=6（3^n-1+2）-12，
令c_n=3^n-1+2∈N^*，则 acn=6（3^n-1+2）-12=b_n+1，所以命题成立 …（7分）
数列数列{c_n}的前n项和为：T_n=2n+
1−3n
1−3=[1/2]•3ⁿ+2n-[1/2] …（9分）
（3）根据（1）的结论，得dn＝

6(3−t)(1−2t)，n＝1
4(n−2t)•3n，n≥2，
由于当n≥2时，d_n+1-d_n=4（n+1-2t）•3ⁿ⁺¹-4（n-2t）•3ⁿ=8[n-（2t-[3/2]）]•3ⁿ，
因此，可得
①若2t-[3/2]＜2，即t＜[7/4]时，则d_n+1-d_n＞0，可得d_n+1＞d_n，
∴当n≥2时，{d_n}是递增数列，结合题意得d₁＜d₂，
即6（3-t）（1-2t）≤36（2-2t），解之得
−5−

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列，求它们的通项公式并找出由它们的公共项构成的新数列规律，并依此求新数列的前n项和．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，等差数列、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论的数学思想和数列中的猜想、类比与递推的思想，对数学的综合能力要求较高，属于难题．