求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上．

解题思路：利用三角形中位线的性质，证明EFGH为平行四边形，利用对角线互相垂直，证明EFGH为矩形，即可得出结论．

已知：AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC垂直BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
求证：E，F，G，H在同一个圆上．
证明：连接EF，FG，GH，HE，则EH是三角形ABD的中位线，所以：EH∥BD
FG是三角形CBD的中位线，所以：FG∥BD
所以：EH∥FG
同理EF∥AC，HG∥AC
所以：EF∥HG
所以：EFGH为平行四边形
因为AC垂直BD，EH∥FG，EF∥AC
所以：EH垂直EF
所以：EFGH为矩形
所以：E，F，G，H在同一个圆上．

点评：
本题考点： 圆內接多边形的性质与判定．

考点点评： 本题考查圆內接多边形的性质与判定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

根据对角线互相垂直的四边形是菱形得
该四边形各边相等
又因为对角线互相垂直
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可得对角线交点到各边中点相等
即对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上，圆心为对角线交点...