已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．

解题思路：我们先假设，a+b=1再证明a³+b³+ab-a²-b²=0成立，即命题的必要性，再假设a³+b³+ab-a²-b²=0再证明a+b=1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=(a-
1
2b)2+
3
4b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0

点评：
本题考点： 充要条件；综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．

a³+b³+ab-a²-b²=(a+b-1)(a²-ab+b²)
如果a+b=1则上式=0；符合必要条件
如果a³+b³+ab-a²-b²=0
则(a+b-1)(a²-ab+b²)=0
因为ab≠0
所以：a²-ab+b²>0;
则必有a+b-1=0;得：a+b=1；符合充分条件

原式可化为 (a+b) (a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=0
(a+b-1)(a^2-ab+b^2)=0
而 (a-b)^2≥0 所以a^2+b^2≥2ab 所以这项(a^2-ab+b^2)≥ab 因为ab不等于0 所以这项不等于0.
所以只能是(a+b-1)这项=0 所以a+b=1
得证