如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则代数值a+b2+c3的值为_____

解题思路：首先将a²+b²+c²=ab+ac+bc式子左右两边同乘以2，移项、拆分项、利用完全平方式转化为（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0．再根据非负数的性质得出a=b=c的关系．再结合a+2b+3c=12，求得a、b、c的值．最后将a、b、c的值代入a+b²+c³求得结果．

∵a²+b²+c²=ab+ac+bc，
⇒2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc，
⇒（a²-2ab+b²）+（a-2ac+c²）+（b²-2bc+c²）=0，
⇒（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∴a-b=0、a-c=0、b-c=0，即a=b=c，
又∵a+2b+3c=12，
∴a=b=c=2，
∴a+b²+c³=2+4+8=14．
故答案为：14．

点评：
本题考点： 因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值．

考点点评： 本题考查因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质．解决本题的关键是以a2+b2+c2=ab+ac+bc作为入手点，通过变换得到ab、c间的关系．

因为a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc,所以(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0,所以a=b=c
所以a=b=c=2,所以a+b^2+c^3=2+4+8=14
注：a^2相当于a的2次方

因为a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
所以 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+c^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b=c
因为a+2b+3c=12
所以a=b=c=2
代入求值即可。

a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
a^2-2ab+b^2+a^2-2ca+c^2+b^2-2bc+c^2=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
a-b=0 a-c=0 b-c=0
a=b=c
a+2b+3c=6a=6b=6c=12
a=b=c=2
a+b^2+c^3
=2+2^2+2^3
=2+4+8
=16