（2010•揭阳一模）已知曲线C：xy-4x+4=0，数列{an}的首项a1=4，且当n≥2时，点（an-1，an）恒在

解题思路：本题以点（a_n-1，a_n）恒在曲线C：xy-4x+4=0上为情景，考查等差数列的证明、求数列的通项公式、求数列的前n项和等数列知识和研究方法；
（1）根据点（a_n-1，a_n）在曲线C上，将其代入方程可得：a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，由bn＝

1

2−an

相邻两项作差得到-[1/2]，所以数列{b_n}是等差数列
（2）由（1）知数列{b_n}是等差数列，首项和公差易得，所以数列{b_n}的通项公式可求，再根据两个数列的关系bn＝

1

2−an

，数列{a_n}的通项公式可直接获得；
（3）根据数列{c_n}满足a_nb_n²c_n=1，由（2）可得数列{c_n}的通项公式，前n项和可由“裂项法”求得，与2的大小比较易得．

（1）∵当n≥2时，点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上
∴a_n-1a_n-4a_n-1+4=0（1分）
由bn＝
1
2−an得
当n≥2时，bn−bn−1＝
1
2−an−
1
2−an−1
=
an−an−1
4−2an−1−2an+anan−1
=
an−an−1
4−2an−1−2an+4an−1−4
=
an−an−1
−2an+2an−1＝−
1
2（4分）
∴数列{b_n}是公差为−
1
2的等差数列；（5分）
（2）∵a₁=4，∴b1＝
1
2−a1＝−
1
2
∴bn＝−
1
2+(n−1)×(−
1
2)＝−
1
2n（7分）
由bn＝
1
2−an得an＝2−
1
bn＝2+
2
n（9分）
（3）∵a_nb_n²c_n=1
∴cn＝
1
an
b2n＝
2
n(n+1)=2(
1
n−

点评：
本题考点： 等差关系的确定；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题综合性强，知识联系广泛，涉及了数列的证明、通项公式、求和公式等，但解题思路清晰、方向明确；
注意在数列{bn}是否是等差数列的判断时，运用bn-bn-1容易进行判断，在（3）得到Sn=c1+c2++cn=2[(1−12)+(12−13)++(1n−1n+1)]=[2n/n+1]后，会变形为2(1−1n+1)＜2易得．