在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若acos2[C/2]+ccos2[A/2]=[3b/2]，求证：a
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若acos2[C/2]+ccos2[A/2]=[3b/2]，求证：a+c=2b．
赞 Erwin_ou 幼苗
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解题思路：利用正弦定理以及二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简方程，通过正弦定理求证结果．
证明：∵acos2[C/2]+ccos2[A/2]=[3b/2]，
∴sinA[1+cosC/2]+sinC[1+cosA/2]=[3sinB/2]，
即：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（C+A）=3sinB
即sinA+sinC=2sinB
∴a+c=2b．
点评：
本题考点： 余弦定理．
考点点评： 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．
1年前
4
luwei2004890 幼苗
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a(cosC/2)^2+c*(cosA/2)^2=3b/2
a*(1+cosC)+c*(1+cosA)=3b
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=k(k是常数)
代入上式同时除以k得:
sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB
sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
因为A+B+C=180
所以sinA+sinC=2sinB
用上面的正弦定理得a+c=2b
a*(1+cosC)+c*(1+cosA)=3b
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=k(k是常数)
代入上式同时除以k得:
sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB
sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
因为A+B+C=180
所以sinA+sinC=2sinB
用上面的正弦定理得a+c=2b
1年前
1
共回答了4个问题 举报
因为2cos^2C/2-1=cosC
所以cos^2C/2=(cosC+1)/2
a/sinA=b/sinB=c/sinC
原式即
sinA(1+cosC)/2+sinC(1+cosA)/2=3sinB/2
即sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB
即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
即sinA+sinC=2sinB
即a+c=2b
所以cos^2C/2=(cosC+1)/2
a/sinA=b/sinB=c/sinC
原式即
sinA(1+cosC)/2+sinC(1+cosA)/2=3sinB/2
即sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB
即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
即sinA+sinC=2sinB
即a+c=2b
1年前
0
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