若（ax+2b）6的展开式中x3与x4的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0

（1）（ax+2b）⁶的展开式中含x³的项为
C36(ax)3(2b)3，
故其系数为8
C36a3b3=160a³b³，
含x⁴的项为
C46(ax)4(2b)2，系数为4
C46a4b2=60a⁴b²，
故可得
160a3b3
60a4b2=[4/3]，解得a=2b，
所以当a=1时，（ax+2b）⁶=（x+1）⁶展开式中二项式系数最大的项为：
T₄=
C36x3=20x³
（2）由a=2b＞0，F(a，b)＝
b3+16
a=
b2
2+
8
b，
构造函数F（x）=
x2
2+
8
x，x＞0
求导数可得F′（x）=x-[8
x2，
令F′（x）＞0，可解得x＞2，令F′（x）＜0，可解得0＜x＜2，
故函数F（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，
故可得F（a，b）的最小值为F（2）=6

点评：
本题考点： 二项式定理的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查二项式定理的应用，以及用导数求函数闭区间的最值，属中档题．

1年前

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