已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．

（Ⅰ） f′(x)＝
a(1−2x)
x(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，
1
2]]，减区间为[[1/2]，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[[1/2]，+∞），减区间为（0，[1/2]]；
（II）f′(2)＝
a(1−2×2)
2＝
3
2
∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）=[1/3x3+x2[f′(x)+m]
=
1
3x3+（m+2）x²-x
g'（x）=x²+2（m+2）x-1
函数g（x）=
1
3x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
则

g′(1)＜0
g′(3)＞0]解得-[10/3]＜m＜-2
∴m的取值范围为（-[10/3]，-2）．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调，属于中档题．