已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等

解题思路：构造函数g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．

令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）-x-1＜0=g（1）的解集，
即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）-x-1为减函数，
∴x＞1，即x∈（1，+∞）．
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．

考点点评： 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．

令F(x)=f(x)-x-1 则有：F'(x)=f'(x)-1
因为x∈R,f'(x)<1 所以x∈R,F'(x)=f'(x)-1<0
即是说：F(x)在R上是减函数
由f(1)=2可得 F(1)=f(1)-1-1=0
所以当x>1时，F(x)=f(x)-x-11时，f(x)所以：不等式f(x)

1年前

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