数列前N项和能用导数证明么?如an=2n*3n次方Sn=3(1*1+2*3+3*3²+……+n3（n-1）次方）记Tn=

你给的an应该是an=n*3^n吧.
设f(x)=x^n,f'(x)=nx^(n-1),
∑(1_n)x^i=x(x^n-1)/(x-1)=[x^(n+1)-x]/(x-1),
则∑(1_n)ix^(i-1)=(∑(1_n)x^i)'=[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)²,
所以当x=3时,∑(1_n)i*3^(i-1)=[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n+1]/4=[(2n-1)*3^n+1]/4,
故an的前n项和Sn=3∑(1_n)i*3^(i-1)=3/4*[(2n-1)*3^n+1],
错位相减：Sn=3[1*1+2*3+3*3²+…+n*3^(n-1)],Sn/3=1*1+2*3+3*3²+…+n*3^(n-1),
所以Sn-Sn/3=-1+(-1)*3+(-1)*3²+(-1)*3³+…+(-1)*3^(n-1)+n*3^n=n*3^n-1*(3^n-1)/2
=n*3^n-1/2*3^n+1/2=(2n*3^n-3^n+1)/2=[(2n-1)*3^n+1]/2,
即Sn=3/2*[(2n-1)*3^n+1]/2=3/4*[(2n-1)*3^n+1],
这两个Sn就是一致的了.
注意你那样对Tn求导是不对的,Tn中只有n是变量,你就只能将n看成自变量了,且不论这种思想对不对,关于n的求导是指数型的了,(3^n)'=3^n*ln3.

对Tn的求导本身就有问题，3+3²+......均为常数项，其导数均为0，而不是1*1+2*3+3*3²+……