已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x 3 -3ax（a∈R）相切．

（I）f′（x）=3x ² -3a∈[-3a，+∞），
∵对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x ³ -3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴实数a的取值范围为a＜
1
3 ；
（II）存在，证明：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）| _max ≥
1
4 ，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时， |f(x)| max ≥
1
4 ，
①当a≤0时，f′（x）=3x ² -3a≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x） _max =f（1）=1-3a＞1＞
1
4 ；
②当0＜a＜
1
3 时，f′（x）=3x ² -3a=3（x+
a ）（x-
a ），
令f′（x）＜0，得0＜x＜
a ，令f′（x）＞0得
a ＜x＜1，
∴f（x）在[0，
a ]上单调递减，在[
a ，1]上单调递增，
注意到 f(0)=f(
3a )=0 ，且
a ＜
3a ＜1，
∴x∈（0，
3a ）时，g（x）=-f（x），x∈（
3a ，1]时，g（x）=f（x），
∴g（x） _max =max{f（1），-f（
a ）}，
由 f(1)=1-3a≥
1
4 及 0＜a＜
1
3 ，解得 0＜a≤
1
4 ，此时 -f(
a )≤f(1) 成立．
∴ g(x ) max =f(1)=1-3a≥
1
4 ．
由 -f(
a )=2a
a ≥
1
4 及 0＜a＜
1
3 ，解得
1
4 ≤a＜
1
3 ，此时 -f(
a )≥f(1) 成立．
∴ g(x ) max =-f(
a )=2a
a ≥
1
4 ．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x ₀ ，使得|f（x ₀ ）|≥
1
4 成立，
即当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上至少存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于
1
4 ．