如图,正方形ABCD的边长是3,P是BC边上的一个动点(不运动到C点),线段AP与正方形的对角线BD交于点Q,设BP=a

如图,正方形ABCD的边长是3,P是BC边上的一个动点(不运动到C点),线段AP与正方形的对角线BD交于点Q,设BP=a.
（1）求线段AQ的长（用含a的代数式表示）.
（2）E是BC延长线上的点.过点P作AP的垂线与∠DCE的平分线CF交于点F,当点P在BC上运动时,试探索AP与PF的数量关系,并证明你的结论.
（3）在（2）的条件下,连结AF分别交BD、CD于M、N,问是否存在实数a,使AM：MN：NF=2：1：若不存在,说明理由；若存在,求出a的值,并计算△BPQ与△CFN的周长之比.

大脸猫110 1年前已收到1个回答举报

a6211276 幼苗

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(1) 正方形边长为3,∴对角线BD=3√2
∴AQ/QP=AD/BP=3/a,而AQ+QP=AP=√(9+a²)
∴AQ=[3√(9+a²)]/(a+3)
(2) 连接AC,则∠ACD=45°,又CF平分∠DCE
∴∠DCF=45°,即∠ACF=90°=∠APF
∴A,P,C,F四点共圆,即∠FAF=∠FCE=45°
∴PA=PF
(3)若AM:MN:NF=2：1：1,而AM:MN=AB:DN
又CF//BD,MN:NF=DN:NC
∴AB:DN:NC=AM:MN:NF=2：1：1
DN=NC=3/2 AN=3√5/2
AF=4AN/3=2√5 AP=√10
10=3²+a² a=1
∵∠QBP=45°=∠NCF,又∠CNF=∠AND
=90°-∠DAN=∠BAP+45°=∠BAP+∠ABQ
=∠BQP,∴△BPQ∽△CNF
∴周长之比为其相似比BQ:CN,而
BQ:QD=BP:AD=1/3,∴BQ=BD/4=3√2/4
∴△BPQ与△CFN的周长之比=√2/2

1年前

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