已知函数y=f(x)是奇函数,且在(负无穷,0)上是减函数,求证:y=f(x)在(0,正无穷)上是减函数

yanjinhu1888 1年前 已收到4个回答 举报
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wj21 花朵

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证明,
因为f(x)在(-无穷,0)上是减函数,所以对于任意的x1 0
因为f(x)是奇函数,所以f(-x) = -f(x)
即,对于任意的x3 > x4 > 0,有-x3 < -x4 < 0
f(x3) - f(x4) = -f(-x3) + f(-x4) = - (f(-x3) - f(-x4)) < 0
所以f(x)在(0,+无穷)上是减函数.
严格的用定义证,包括奇函数和减函数的定义.

1年前

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aiyuanziji 幼苗

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因为函数y=f(x)是奇函数
所以函数关于原点对称 且（负无穷,0）（0,正无穷）上单调性相同
所以在(0,正无穷)上是减函数

1年前

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luyao1819 幼苗

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取（0，正无穷)上x1大于x2，则-x1小于-x2，f（-x1）=-f（x1）大于f（-x2）=-f（x2）。故f（x1）小于f（x2），即f（x）在（0，正无穷）上是减函数。

1年前

2

ala198357 幼苗

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因为函数y=f(x)在（-∞，0）上是减函数
因此当x∈（-∞，0）时，f'(x)<0
又因为函数y=f(x)是奇函数，所以f'(-x)=f'(x)
所以当x∈（0，+∞）时，f'(x)=f'(-x)<0
故y=f(x)在(0,正无穷)上是减函数

1年前

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