已知圆系C:(X－t)^2+(y-t^2)^2=t^2+(t^2-1/2)^2 (t属于R),C 过 y轴上的定点A ,

由圆C的方程知,圆心C（t2,t2）在曲线上,故①正确．
由弦长公式得：弦MN的长为 2r2-d2=2[t2+(t2-
12)2-t4=214=1,故②正确．
圆心C（t2,t2）到直线y=
12 的距离等于|t2-12|,而半径为t2+(t2-
12) 2,二者不一定相等,故③不正确．
在圆C方程令y=0,可得 x2-2t2x+t4-14=0,∴x=t2+12 或 x=t2-12,
即 M（t2+12,0）,N（t2-12,0）,由圆C方程知A（0,12）,
∴|AM|=m=(t2+
12) 2+
14,|AN|=n=(t2-
12) 2+14,
由基本不等式得 mn+nm≥2（当且仅当m=n时等号成立）,
△AMN中,由余弦定理得 1=m2+n2-2mncosA,∴cosA=m2+n2-12mn,
△AMN的面积为 12•m•n•sinA=12×1×12,∴sinA=12mn,
∵sinA+cosA=m2+n22mn≤2,∴mn+nm=m2+n2mn≤22,
即 22≥mn+nm≥2,故④正确．
故答案为 ① ②④．

首先对圆系C的方程右边化简一下得
圆系C:(X－t)^2+(y-t)^2=t^4+1/4 (t属于R),
可见圆系C是一个以（t，t）为圆心，根号下（t^4+1/4）为半径的圆。
①必然错误，因为圆心的坐标是(t，t)，故圆心的曲线是落在y＝x上
②M、N是圆在X轴上的交点，故在圆的方程中令y＝0，求解x可得
x1＝t^2+t-1/2 x2=-t...