已知椭圆的中心在原点，焦点与双曲线x210−y25＝1的焦点相同，且经过点M（4，1）；直线l：y=x+m交椭圆于A、B

（1）以题意可知，椭圆中的半焦距c²=10+5=15，
设椭圆方程为
x2
15+λ+
y2
λ=1（λ＞0）
∵过点M（4，1），
∴[16/16+λ]+
1
λ=1，∴λ=5或λ=-3（舍去）
∴
x2
20+
y2
5=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解方程组

y＝x+m

x2
20+
y2
5＝1，得5x²+8mx+4m²-20=0
x₁+x₂=−
8m
5，x₁x₂=
4m2−20
5
设直线MA．MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁=
y1−1
x1−4，k₂=
y2−1
x2−4，k₁+k₂=
(y1−1)(x2−4)+(x1−4)(y2−1)
(x1−4)(x2−4)
∵（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=0，
∴k₁+k₂=0，
∴直线AM，BN与x轴能构成一个等腰三角形

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 本考查了直线与椭圆的位置关系，结合方程求解，运用韦达定理判断，属于中档题．