A为正定矩阵,B为实反对称矩阵,求证:| A+B |大于零.

A为正定矩阵,B为实反对称矩阵,求证:| A+B |大于零.
此为《高等代数》中出现在正定二次型一节中的题目
梦中的魏晨 1年前 已收到2个回答 举报
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独去爱rr 幼苗

共回答了15个问题采纳率：100% 举报

不用这么烦的吧.
设a为A+B的任一特征值,b为其特征向量,用b`表示b的共轭转置 则有 (A+B)b=ab 两端左乘b`
得 b`(A+B)b=b`ab=a|b|^2 再在 (A+B)b=ab,两端取共轭转置,由 A为正定矩阵,B为实反对称矩阵得 b`(A-B)=b`a 再两端右乘b 得b`(A-B)b=b`ab=a|b|^2 所以 2|b|^2*a=b`Ab >0
所以 a>0 即A+B的任一特征值为正数.所以| A+B |>0

1年前

14

ddd555kkk 幼苗

共回答了97个问题 举报

A正定,B反对称,
那么对于任意的非负实数k
det((k*I+A+B)(k*I'+A'+B'))
=det((k*I+A)^2+BB')
而(k*I+A)^2+BB'是正定
所以
det(k*I+A+B)^2>0
也就是
det(k*I+A+B)!=0对于任意非负实数k成立
左边是关于k的多项式多项式,所以...

1年前

3
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