benlee112 幼苗
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①若(x+a)n+axn=0对任意实数都成立,令x=0,则必须有a=0,
令x=1,则有(1+a)n+a=0,显然a=0不是这个方程的解,故假设不成立,该函数不是回旋函数,①正确;
②由于f(x)=sinωx是回旋函数,故有:sinω(x+a)+asinωx=0对任意实数x成立
令x=0,可得sinωa=0,令x=[π/2],运用两角的和的正弦公式可得cosωa=-a,故a=±1,ω=kπ(k为整数),所以T=|[2/k]|≤2,所以②正确;
③若指数函数y=ax为阶数为m的回旋函数,则ax+m+max=0,∴am+m=0,∴m<0,故③不正确;
④如果a=0,显然f(x)=0,则显然有实根.下面考虑a≠0的情况.
若存在实根x0,则f(x0+a)+af(x0)=0,即f(x0+a)=0说明实根如果存在,那么加a也是实根.因此在区间(0,a)上必有一个实根.则:f(0)f(a)<0,由于f(0+a)+af(0)=0,则f(0)=
−f(a)
a,只要a>0,即可保证f(0)和f(a)异号.综上a≥0,即对任意一个阶数为a(a≥0)的回旋函数f (x),方程f(x)=0均有实数根,④正确.
故选C.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用.
考点点评: 本题是新定义题,关键是理解新定义,利用新定义时,应注意赋值法的运用,同时注意运用数学思想方法的运用:分类讨论和反证法.
1年前