正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交

对称矩阵不同特征值的特征向量一定是两两正交的,不需要加正规矩阵的条件:
设对称矩阵A特征值a1对应特征向量x1,a2对应特征向量x2,我们来证明x1'x2=0
考虑a1x1'x2=(a1x1)'x2=(Ax1)'x2=x1A'x2
a2x1x2=x1(a2x2)=x1Ax2.
这里A是对称阵,所以a1x1'x2=a2x1'x2,就是(a1-a2)x1'x2=0,因为a1和a2不等是已知条件,所以x1'x2=0.
这里要注意Ax=ax,然后x1,x2都是向量,a1和a2都是数,x1'x2是向量的内积也是一个数..其他的就都是高中知识了

所以非对称矩阵的特征向量一定不可以两两正交。如果一时间不理解再拿刚才的例子对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征

不知道这么证明可行不？正规阵是可正交对角化的，即存在酉阵Q，使得A=QDQ*，其中D是对角阵，Q*是酉阵的共轭转置。设Ax=ax，Ay=by，a b分别是A的k m重特征值，不妨记D的前k个对角元就是a，第k+1 k+2,...,k+m个对角元是b，则有D(Q*x)=a(Q*x)，D(Q*y)=b(Q*y)，于是Q*x必须是e1 e2,...，ek的线性组合，Q*y必须是e(k+1)，...，e(...