已知三角形abc的重心g和内心o的连线og平行于bc,求证:ab+cg=2bc

三角形ABC中,G是重心,O是内心,且OG∥BC.求证:AB+AC=2BC
连接AG、AO且延长分别交BC于D、E,连接C,则AD为中线,AE、CO为角平分线．
∵OG∥BC,
∴ AO/OE=AG/GD=2．
在△CAE中,有 AC/CE=AO/OE=2,即AC=2CE,
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．
或者,利用面积公式
连接AG并延长交BC于点D,连接AI并延长交BC与点F作OE⊥BC于E,AH⊥BC于H,则OE为内切圆I的半径,
设OE=r．
∵OG∥BC,
∴ OE/AH=OF/AF=DG/AD=1/3,即AH=3r．
∵ s△ABC=1/2BC•AH=1/2(AB+BC+CA)•r,故1/2BC•3r=12(AB+BC+CA)•r,
即2BC=AB+CA．