已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集

（1）证明：有A=B．先证
任取x₀∈A，则f（x₀）=x₀，f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
∴x₀∈B，∴A⊆B；
再证 任取y₀∈B，f（f（y₀））=y₀，
若f（y₀）≠y₀，不妨设f（y₀）＞y₀，
由单调递增可知：f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，与f（f（y₀））=y₀矛盾，
同理f（y₀）＜y₀也矛盾，所以f（y₀）=y₀，∴B⊆A，
综上，A=B．
（2）（i）若|A|=0，则|B|=0，下面证明：
若a＞0，由于f（x）=x无实根，则对任意实数x，f（x）＞x，从而f（f（x））＞f（x）＞x，
故f（f（x））=x无实根；
同理，若a＜0，对任意实数x，f（x）＜x，从而f（f（x））＜f（x）＜x，
故f（f（x））=x也无实根，
所以|B|=0．
（ii）若|B|=1，则|A|=1，下面证明：
存在性：不妨设x₀是B中唯一元素，则f（f（x₀））=x₀，
令f（x₀）=t，f（t）=x₀，那么f（f（t））=f（x₀），而f（x₀）=t，故f（f（t））=t，说明t也是f（f（x））的不动点，
由于f（f（x））只有唯一的不动点，故x₀=t，即f（t）=t，这说明t也是f（x）的不动点，从而存在性得证；
以下证明唯一性：若f（x）还有另外一个不动点m，即f（m）=m，m≠t，
则f（f（m））=f（m）=m，这说明f（f（x））还有另外一个稳定点m与题设矛盾．
故唯一性得证．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；集合中元素个数的最值．

考点点评： 本题考查函数单调性、集合运算，考查学生推理论证能力及运用所学知识分析问题解决新问题的能力，综合性强，难度大．