如图，在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点．把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折

解题思路：由在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质与折叠的性质，可求得∠AEF=∠FED=45°；由等腰直角三角形的性质，可得CD=2DE，又由DE=BD，即可得BD=（2-1）AB；由∠AEF=∠C=45°，即可证得EF∥BC；易证得四边形BDEF是平行四边形，即可得BD=EF．

∵在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，
∴∠OBC=[1/2]ABC=45°，
由折叠的性质可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED；
故①正确；
∵BD=ED，
在Rt△DEC中，∠C=45°，
∴CD=
2DE，
∴CD=
2BD，
∵BC=AB，
∴BD=
1

2+1BC=（
2-1）AB，
故②错误；
∵∠AEF=∠C=45°，
∴EF∥BC；
故③错误；
∵∠EDC=90°-∠C=45°，
∴∠EDC=∠OBC=45°，
∴DE∥OB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF．
故④正确．
故答案为：①③④．

证明：①在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，
∴∠OBC=[1/2]ABC=45°，
由折叠的性质可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED．

点评：
本题考点： 翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．