连续函数x→x0,limf(x)怎么会=f(x0),不管该点连续与不连续,既然是极限也是无限接近f(x0).

你开始就说“连续函数”,既然是连续函数,那么在每一点上都是连续的（如果是闭区间则在端点处单侧连续）.
是连续的就有结论：x→x0,limf(x)一定会=f(x0),
连续函数f(x)在x=x0处必须同时具备三条件：
1.f(x)在x=x0处有定义；（注:极限无此要求）
2.f(x)在x=x0处有极限；
3.f(x)在x=x0处的极限值等于该点的函数值
缺一不可.
当然,最后一条是前两条的“合并”.但是分解成三条,层层递进,十分有利于判断一个函数是否连续.