证明:当x>1时,x+1>2(x-1)/lnx

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提着裤子来上网 幼苗

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设y=(x+1)lnx-2(x-1)
y′=(x+1)/x+lnx-2=1/x+lnx-1
y′′=-1/x²+1/x
当x>1 时y′′=(1/x)(1-1/x)>0
所以当x>1时 y′单调增 当x=1时 y′=0 所以当x>1时y′>0
所以 当x>1 y单调增 当x=1 y=0 所以当x>1 y>0
所以当x>1 时 (x+1)lnx-2(x-1)>0
lnx( x+1)>2(x-1)
x+1>2(x-1)/lnx

1年前

3

西南情 幼苗

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原不等式可化为lnx>2(X-1)/(X+1)
因为
当X=1时 lnx=2(X-1)/(X+1)=0
设m=（lnx)'=1/x,n=[2(X-1)/(X+1）]'=4/(x+1)^2
当X>1时 m>0,n>0
所以lnx与2(X-1)/(X+1) 单调递增
m-n=(x-1)^2/4x(x+1)^2>0 （lnx斜率大于2(X-1)/(X+1)的斜率）
即证得：X大于1时 lnx>2(X-1)/(X+1 )

1年前

2

buran1 幼苗

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【1】
函数g(x)=(xlnx)+1-x. x∈[1, +∞)
求导，g'(x)=lnx
易知，当x≥1时，g'(x)=lnx≥0
∴在区间[1,+∞)上，函数g(x)=(xlnx)+1-x递增。
∴当x＞1时，恒有g(x)＞g(1)
即当x＞1时，恒有(xlnx)+1-x＞0
【2】
函数f(x)=[(x+1)lnx]-...

1年前

2

go555go 幼苗

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设f(x)=(x＋1)lnx－2(x－1)
则：f'(x)=lnx＋(1/x)－1=h(x)
则：h'(x)=(1/x)－(1/x)²，在x>1时，h'(x)>0，即：h(x)在x>1时递增，且其最小值是h(1)=0，从而，得：f'(x)在x>1时的最小值是f'(1)=0，所以f'(x)在x>1时是恒大于0的，即函数f(x)在x>1时是递增的。
对于x>1，恒有：...

1年前

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