求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．

解题思路：把函数关系式利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取

2

然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+2sinxcosx+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=2+sin2x+cos2x
=2+
2sin（2x+[π/4]）．
当sin（2x+[π/4]）=-1时，y取得最小值2-
2当且仅当2x+[π/4]=2kπ-[π/2]即x=kπ-[3/8]π时取最小，
取最小值的x的集合为{x|x=kπ-[3/8]π，k∈Z}．

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．

y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=3sin2x+3cos2x=3根号2sin(2x+π/4)
ymin=-3根号2 2x+π/4=2kπ-π/2 x=kπ-3π/8 k属于Z