已知a∈R，函数f（x）=ax-lnx，g(x)＝lnxx，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），

（1）f′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x，
∵x∈（0，e]，
由f′(x)＝
x−1
x＞0，得1＜x＜e，
∴增区间（1，e）．
由f′(x)＝
x−1
x＜0，得0＜x＜1．
∴减区间（0，1）．
故减区间（0，1）；增区间（1，e）．
所以，f（x）极小值=f（1）=1．
（2）令 F（x）=f（x）-g（x）=x-lnx-[lnx/x]-[1/2]，
求导F′（x）=1-[1/x]-[1−lnx
x2=
x2−x+lnx−1
x2，
令H（x）=x²-x+lnx-1
则H′（x）=2x-1+
1/x]=[1/x]（2x²-x+1）＞0
易知H（1）=-1，
故当0＜x＜1时，H（x）＜0，即F′（x）＜0
1＜x＜e时，H（x）＞0，即F′（x）＞0
故当x=1时F（x）有最小值为F（1）=[1/2]＞0
故对x∈（0，e]有F（x）＞0，
∴f（x）＞g（x）+[1/2]．
（3）f′(x)＝a−
1
x＝
ax−1
x，
①当a≤0时，f（x）在（0，e）上是减函数，
∴ae-1=3，a=[4/e＞0．
②当0＜a＜
1
e]时，f（x）=[1/e]，f（x）在（0，e]上是减函数，
∴ae-1=3，a=[4/e＞
1
e]．
③当a≥
1
e时，f（x）在(0，
1
a]上是减函数，(
1
a，e)是增函数，
∴a
1
a−ln
1
a＝3，a=e²，
所以存在a=e²．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．