弧长与弦长比的极限真的是1吗?弧长公式对吗?

弧长与弦长比的极限真的是1吗?弧长公式对吗?
高等数学任意曲线的弧长计算公式怎么出来的?关键是怎么证明弧长与弦长是等价无穷小?书上先给了弧长积分公式,再用公式两端取微分证明的,似有循环论证的嫌疑!
jelly456 1年前 已收到1个回答 举报
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我只为你心动 幼苗

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根据积分方法：对于弧长的一段微元来说,无限小的一段弧当然可以近似于直线；不需要给公式,因为积分的原理就是取微元,然后近似,它的每一次应用都有这样的过程.
书上的应该也不是循环论证,它只是先给公式,然后给出推导过程!

1年前 追问

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jelly456 举报

无限小的一段弧为什么能近似成直线？对于一般的曲线下面积，之所以能近似是因为上和的极限等于下和的极限，并且由积分中值定理可知在小区间上存在一点使得以这一点的函数值为高的小区间的面积等于小曲边梯形的面积。但是对于弧长，甚至是曲面面积就没有这么直观了。首先，它为什么可以这么定义？这就是个大问题。如果不说明白就是形而上学。其次是否存在中值定理保证它能够被近似替代？定义式里面不是黎曼和而公式用的是黎曼和。

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感觉你对积分的定义理解有点问题，对一个函数的积分从几何意义上来说是函数曲线与X轴，以及两端围成的面积，这个面积怎么求，是取dx，用长方形的面积y*dx计算的，才得到积分公式的，这就是把曲线近似为直线。书上的定义过程都有的。
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你能帮帮他们吗

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