设不等式组 所表示的平面区域为D n ，记D n 内 的整点个数为a n (n∈N * )(整点即横坐标和纵坐标均为整数

设不等式组 所表示的平面区域为D _n ，记D _n 内 的整点个数为a _n (n∈N ^* )(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
(1) 求证：数列{a _n }的通项公式是a _n ＝3n(n∈N ^* )．
(2) 记数列{a _n }的前n项和为S _n ，且T _n ＝ ．若对于一切的正整数n，总有T _n ≤m，求实数m的取值范围．
(1)详见试题解析；(2) ．


试题分析：(1)首先由已知 ，得 ， ，或 ， 内的整点在直线 和 上．记直线 为 ， 与直线 和 的交点的纵坐标分别为 ，则可求得 的值，最后可得 的表达式；(2)由(1)先求出 及 的表达式，由已知对一切的正整数 ， 恒成立，等价于 ，可以利用数列 相邻两项的差，解 ，得到数列 的最大项，从而可得实数 的取值范围．
试题解析：(1)证明：由 ，得 ， ，或 ， 内的整点在直线 和 上．记直线 为 ， 与直线 和 的交点的纵坐标分别为 ，则 ， ．
(2) ， ， ，∴当 时， ，且 ，于是 ， 是数列 中的最大项，故 ． 项和的求法；3．恒成立不等式中