如图,BC是半圆O的直径,F是半圆上异于B,C的点,点A是弧BF的中点,AD⊥BC于点D,BF交AD与点E.

（1）证明：连 FC.
∵ BC是半圆O的直径
∴ ∠BFC = 90° （直径所对的圆周角为90°）
∵ AD ⊥ BC
∴ ∠BDE = 90°
∴∠BDE = ∠BFC
在 Rt△BDE 和 Rt△BFC 中,
∠BDE = ∠BFC （已证）
∠EBD = ∠CBF（公共角）
∴ Rt△BDE ∽ Rt△BFC
∴BD ：BF = BE ：BC
∴ BE × BF=BD × BC
（2）BD ＜ AE 理由如下：
连 AB、 AC.
∵ BC是半圆O的直径
∴ ∠BAC = 90° （直径所对的圆周角为90°）
即 ∠BAE + ∠CAE = 90° ---------------------------------- ①
∵ AD ⊥ BC
∴ ∠ADC = 90°
∴ ∠ACD + ∠CAE = 90° ---------------------------------- ②
由 ① ② 得：∠BAE = ∠ACD ------------------------------ ③
∵ 点A是弧BF的中点
∴ 弧AB = 弧AF
∴ 弧AB所对的圆周角∠ACD 等于 弧AF所对的圆周角∠ABE
即：∠ACD = ∠ABE --------------------------- ④
由③ ④ 得：∠BAE = ∠ABE
∴ AE = BE
在 Rt△BDE 中,
由 直角边 必定小于 斜边 得：BD ＜ BE
而 BE = AE
∴ BD ＜ AE