已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，（1）若D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD；

（1）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，
则E为B₁C中点，又D为AC的中点，
∴DE是△CAB₁的中位线，
∴DE∥AB₁，
又DE?平面BDC₁，AB₁?平面C₁BD，
∴AB₁∥平面C₁BD．
（2）λ=1时，AP∥平面C₁BD；
证明如下：连接PC，设PC与BC₁交于点F，连接DF．
当λ=1时，P为B₁B中点，C₁C：PB=CF：FP=2：1，
又CD=2AD，∴CF：FP=CD：AD=2：1．
∴DF∥AP，
又DF?平面BDC₁，AP?平面C₁BD，
∴AP∥平面C₁BD．
（3）由（1）当D为AC的中点时，AB₁∥平面C₁BD；
∴点A到平面C₁BD的距离等于直线AB₁到平面C₁BD的距离，记为h．
正三棱柱的高C₁C=
B1C2? B1C12=
102?82=6．
由正三棱柱性质可知面CC₁⊥面ABC，BD?面ABC，∴CC₁⊥BD．
又在正三角形ABC中，D为AB中点，∴AC⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴，BD⊥面A₁ACC₁，DC₁?面A₁ACC₁，∴BD⊥DC₁，
∴△BDC₁ 是直角三角形．
∵S_△ABD=[1/2]AD×BD=[1/2]AD×
AB2?AD2=[1/2]×4×
82?42=8
3．
C₁D=