如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x轴
| 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x轴上，点A的坐标（-1，0），点B在y轴的正半轴上，BC=OB。 （1）求过点A、B、C的抛物线的解析式； （2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A 1 B 1 EF，点A、B的对应点分别是点A 1 、B 1 ，设四边形A 1 B 1 EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）。 ①当点A 1 落在（1）中的抛物线上时，求S的值； ②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式。 |
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（1）△ABO中∠AOB=90°tanA=
=2，
∵点A坐标是（-1，0），
∴OB=2，
∴点B的坐标是（0，2），
∵BC∥AD，BC=OB，
∴点C的坐标是（2，2），
设抛物线表达式为y=ax2+bx+2，
∵点A（-1，0）和点C（2，2）在抛物线上，
∴
∴解得
∴y=-
；
（2）①当点A 1 落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A 1 与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点，重合部分面积就是梯形ABEF的面积，
∴S=S 梯形ABEF =
（BE+AF）×BO=2x+1；
②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，
由题得AF=x+1，BE=x，
S=S 梯形ABEF =
（BE+AF）×BO=2x+1，
当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A 1 NCEF的面积，
设A 1 B 1 交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K，
△NMA 1 ∽△DMN，
，
∵∠BAO=∠MA 1 N，tan∠BAO=2，
∴tan∠MA 1 N=2
，
∴MA 1 =
MN，MD=2MN，
∵tan∠BAO=2，∠BAO+∠CDK=90°，
∴tan∠CDK=
，
在△DCK中，∠CKD=90°，CK=OB=2，tan∠CDK=
，
∴DK=4，OD=6，
∵OF=x，A 1 F=x+1，
∴A 1 D=OD-OF-A1F=5-2x，FD=6-x，
∴MN=
（5-2x），
∴S=S 梯形DCEF -
=2， ∵点A坐标是（-1，0），
∴OB=2，
∴点B的坐标是（0，2），
∵BC∥AD，BC=OB，
∴点C的坐标是（2，2），
设抛物线表达式为y=ax2+bx+2，
∵点A（-1，0）和点C（2，2）在抛物线上，
∴
∴解得
∴y=-
； （2）①当点A 1 落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A 1 与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点，重合部分面积就是梯形ABEF的面积，
∴S=S 梯形ABEF =
（BE+AF）×BO=2x+1；②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，
由题得AF=x+1，BE=x，
S=S 梯形ABEF =
（BE+AF）×BO=2x+1，当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A 1 NCEF的面积，
设A 1 B 1 交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K，
△NMA 1 ∽△DMN，
，∵∠BAO=∠MA 1 N，tan∠BAO=2，
∴tan∠MA 1 N=2
，∴MA 1 =
MN，MD=2MN，∵tan∠BAO=2，∠BAO+∠CDK=90°，
∴tan∠CDK=
，在△DCK中，∠CKD=90°，CK=OB=2，tan∠CDK=
， ∴DK=4，OD=6，
∵OF=x，A 1 F=x+1，
∴A 1 D=OD-OF-A1F=5-2x，FD=6-x，
∴MN=
（5-2x），∴S=S 梯形DCEF -
1年前
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