（2006•嘉定区二模）用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（2006•嘉定区二模）用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（1）在递增数列{an}中，an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0（n为正整数）的两个根．求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k的类型；
（3）对（1）中的数列作进一步研究，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．
（1）在递增数列{an}中，an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0（n为正整数）的两个根．求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k的类型；
（3）对（1）中的数列作进一步研究，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．
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解题思路：（1）解方程x2-4nx+4n2-1=0，结合{an}是递增数列，可求出an与an+1．进而根据等差数列的定义，判断出{an}是等差数列，进而得到数列的通项公式
（2）根据等差数列的前n项和公式，化简S3k-2→3k，进而根据等差数列的定义，判断出数列{S3k-2→3k}为等差数列
（3）根据（2）中结论，可得S1→m，Sm+1→2m，…，S（k-1）m+1→km的类型均为等差数列
（2）根据等差数列的前n项和公式，化简S3k-2→3k，进而根据等差数列的定义，判断出数列{S3k-2→3k}为等差数列
（3）根据（2）中结论，可得S1→m，Sm+1→2m，…，S（k-1）m+1→km的类型均为等差数列
（1）解方程x2-4nx+4n2-1=0得x1=2n-1，x2=2n+1…（1分）
∵{an}是递增数列，
∴an=2n-1，an+1=2n+1，
an+1-an=2…（3分）
∴数列{an}是等差数列，
其通项公式是an=2n-1（n为正整数）…（4分）
（2）当k为正整数时，S3k-2→3k=a3k-2+a3k-1+a3k=18k-9S3（k+1）-2→3（k+1）=18（k+1）-9=18k+9，
∴S3（k+1）-2→3（k+1）-S3k-2→3k=18（常数）
∴数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k是等差数列…（9分）
（3）S1→4，S5→8，…，S4k-3→4k也是等差数列，理由如下：
S4k-3→4k=a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=32k-16S4（k+1）-3→4（k+1）=32（k+1）-16=32k+16，
∴S4（k+1）-3→4（k+1）-S4k-3→4k=32（常数）
∴数列S1→4，S5→8，…，S4k-3→4k是等差数列
点评：
本题考点： 数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查的知识点是等差数列的判断与性质，熟练掌握等差数列的证明方法是解答的关键．
1年前
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