（2014•南宁三模）已知函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]（2a+1）x2+（a2+a）x

解题思路：（Ⅰ）f'（x）=（x-a）[x-（a+1）]，列出f′（x），f（x）随x的变化情况表，由表易知x=a时f（x）取得极大值，即a=1；
（Ⅱ）当a＞-1时a+1＞0，根据极值点与区间的位置关系分情况进行讨论：a≥1时，0＜a＜1时，a=0时，-1＜a＜0时，由导数易判断单调性，根据单调性可得最大值，综合以上各种情况可得结论；

（Ⅰ）因为 f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f'（x）=0，得x₁=（a+1），x₂=a，
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，a） a （a，a+1） a+1 （a+1，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增所以a=1；
（II） 因为a＞-1，所以a+1＞0，
当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，
所以当x=1时，f（x）取得最大值f(1)＝a2−
1
6；
当0＜a＜1时，在x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=a时，f（x）取得最大值f(a)＝
1
3a3+
1
2a2；
当a=0时，在x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
当-1＜a＜0时，在x∈（0，a+1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（a+1，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
又f(0)＝0，f(1)＝a2−
1
6，
当−1＜a＜−

6
6时，f（x）在x=1时取得最大值f(1)＝a2−
1
6，
当−

6
6＜a＜0时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0，
当a＝−

6
6时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0．
综上所述，当a≥1或−1＜a＜−

6
6时，f（x）取得最大值f(1)＝a2−
1
6，
当0＜a＜1时，f（x）取得最大值

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查分类讨论思想，解决（Ⅱ）问时可借助图形分析极值点与区间的位置关系，由此对a展开讨论．