已知函数f(x)＝ax2+x−1ex

解题思路：（Ⅰ）当a=0时，求函数的导数，利用导数求函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求导数利用导数讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）利用导数利用条件f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范围．

（1）当a=0时，f′(x)＝
2−x
ex，若f'（x）≥0，则x＜2，若f'（x）＜0，则x＞2．
所以当x=2时，函数取得即极大值即最大值f（2）=[1
e2，因为f（1）=0，f（3）=
2
e3＞0，
所以最小组为0．
（2）求导，得f′(x)＝
(ax+1)(2−x)
ex，令f'（x）=0，则（ax+1）（2-x）=0，
当a≠0时，方程二根为−
1/a]和2．
因为−
1
2≤a＜0，所以−
1
a＞2，
由f'（x）＜0得，x＞−
1
a或x＜2，此时函数单调递减，
由f'（x）＞0，得−
1
a＜x＜2，此时函数单调递增．
（3）由f（x）+3≥0得ax²≥1-x-3e^x，当x=0时，f（x）+3≥0恒成立．
当x≠0时，若f（x）+3≥0恒成立，即a≥
1−x−3ex
x2恒成立，令g(x)＝
1−x−3ex
x2，只需求其最大值即可．
由g′(x)＝
x(3ex−1)(2−x)
x4＝0，得x=2或x=-ln3．
当-ln3＜x＜0或0＜x＜2时，g'（x）＞0，当x＜-ln3或x＞2时，g'（x）＜0，
所以当x变化时，g（x），g'（x）的变化情况如下表：
x （-∞，ln3） -ln3 （-ln3，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） + 0 - + 0 -
g（x） 递增 极大值 递减 递增 极大值 递减由上表可知，f（x）的极大值是f（-ln3）=[1/ln3]和g（2）=−
3e2+1
4，f（x）的最大值是f（-ln3）=[1/ln3]，
所以要使f（x）+3≥0恒成立，则a≥[1/ln3]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．