（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形； （2）图中的三角
| （1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形； |
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| （2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式b n |
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| （3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为 a n （n=1，2，3，…），设  ，求数列{c n }的前n项和S n ． |
赞 严宁宁 幼苗
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（1）在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；
在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；
在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；
由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．
因此答案如右图所示：
（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，所以{b n }构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{b n }的通项公式，
∴由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：
．
（3）由题意，可得a n =1+2+3+4+…+n=
，
∴
，
所以
．①
所以
．②
①﹣②得
．
所以﹣2Sn=
．即
，其中n∈N+
在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；
在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；
由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．
因此答案如右图所示：
（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，所以{b n }构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{b n }的通项公式，
∴由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：
．（3）由题意，可得a n =1+2+3+4+…+n=
，∴
，所以
．①所以
．②①﹣②得
．所以﹣2Sn=
．即
，其中n∈N+
1年前
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