（2010•崇明县一模）已知数列{an}满足：a1＝12，3(1−an+1)1−an＝2(1+an)1+an+1（n∈N
（2010•崇明县一模）已知数列{an}满足：a1＝
，
＝
（n∈N*），数列{bn}=1-{an}2（n∈N*），数列{cn}={an+1}2-{an}2
（n∈N*）．
（1）证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{cn}的通项公式；
（3）是否存在数列cn的不同项ci，cj，ck（i＜j＜k），使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项ci，cj，ck（i＜j＜k）；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| 2 |
| 3(1−an+1) |
| 1−an |
| 2(1+an) |
| 1+an+1 |
（n∈N*）．
（1）证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{cn}的通项公式；
（3）是否存在数列cn的不同项ci，cj，ck（i＜j＜k），使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项ci，cj，ck（i＜j＜k）；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）由已知an≠±1，bn≠0，b1＝
，3（1-an+12）=2（1-an2），an+12=[1/3]+[2/3]an2，
＝
(n∈N*)，由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（2）由bn＝
•(
)n−1(n∈N*)，知an2＝1−bn＝1−
•(
)n−1(n∈N*)，由此能求出{cn}的通项公式．
（3）假设存在ci，cj，ck满足题意成等差2cj=ci+ck代入得2•
•(
)j−1＝
•(
)i−1+
•(
)k−1，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，故这样三项不存在．
| 3 |
| 4 |
| bn+1 |
| bn |
| 2 |
| 3 |
（2）由bn＝
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| 4 |
| 2 |
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| 3 |
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（3）假设存在ci，cj，ck满足题意成等差2cj=ci+ck代入得2•
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| 2 |
| 3 |
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| 4 |
| 2 |
| 3 |
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| 4 |
| 2 |
| 3 |
（1）由已知an≠±1，bn≠0（n∈N*）b1＝
3
4，3（1-an+12）=2（1-an2）
an+12=[1/3]+[2/3]an2，
bn+1
bn＝
2
3(n∈N*)
所以{bn}是[3/4]为首项，[2/3]为公比的等比数列
（2）bn＝
3
4•(
2
3)n−1(n∈N*)an2＝1−bn＝1−
3
4•(
2
3)n−1(n∈N*)cn＝an+12−an2＝
1
4•(
2
3)n−1(n∈N*)
（3）假设存在ci，cj，ck满足题意成等差2cj=ci+ck代入得2•
1
4•(
2
3)j−1＝
1
4•(
2
3)i−1+
1
4•(
2
3)k−1
2j−i+1＝3j−i+2k+j−i
2j−i+1−2k+j−i＝3j−i，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，这样三项不存在．
点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查等比数列的证明、求解数列通项公式的方法和等差中项的综合运用，解题时要认真审题，仔细思考，注意合理地进行等价转化．
1年前
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