已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值

解题思路：（1）先求导函数f′（x）=3x²-2ax+b，利用函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，可求a，b；
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，即转化为f（x）的最小值小于2|c|即可．

（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的两根，
∴

−1+3＝
2
3a
−1×3＝
b
3，∴

a＝3
b＝−9
（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，当x变化时，有下表

x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ Max
c+5 ↘ Min
c-27 ↗而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值，利用最值解决恒成立问题，要注意常规方法．