2xy−7],再结合柯西不等式,即可得证.
证明:令[1/a=x, 2 b=y, 3 c=z,则21ab+2bc+8ca≤12,等价于2xyz≥2x+4y+7, ∴2xy≥7,z≥ 2x+4y 2xy−7], ∴x+y+x≥x+y[2x+4y/2xy−7]=x+[11/2x]+[2xy−7/2x]+ 2(x2+7) x(2xy−7)≥x+[11/2x]+2 1+ 7 x2, 由柯西不等式可得(1+ 7 x2)(9+7)≥(3+ 7 x)2 ∴x+y+x≥x+[11/2x]+[1/2](3+ 7 x)=[3/2+x+ 9 x]≥[15/2], 即[1/a+ 2 b+ 3 c≥ 15 2].
点评: 本题考点: 二维形式的柯西不等式;不等式的证明. 考点点评: 本题考查不等式的证明,考查换元法,考查柯西不等式,考查学生分析解决问题的能力,属于难题.
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