已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3-4x+1；（2）若对?x∈（1，

（1）证明：要证f（x）＞3-[4/x+1]，即证lnx+[4/x+1]-2＞0，
令m（x）=lnx+[4/x+1]-2，
则m'（x）=
1
x?
4
(x+1)2＝
(x?1)2
x(x+1)2＞0，
∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，
∴lnx+[4/x+1]-2＞0，
即f（x）＞3-[4/x+1]成立．
（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a＞
x?1
lnx，
令h（x）=[x?1/lnx]，则h'（x）=
lnx?1+
1
x
(lnx)2，
由（1）知lnx-1+[1/x]＞1+[1/x?
4
x+1]=
(x?1)2
x(x+1)2＞0，
∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e-1，
即a≥e-1．
解法二：令h（x）=alnx+1-x，则h'（x）=[a/x?1＝
a?x
x]，
当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，
当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，
对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1．---------------（7分）
当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合题意，-----------------------------------------------------------（8分）
综上得对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．------------------------（9分）】
【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得[1/a＜
ln?x
x?1]
由于[lnx/x?1]表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，
由图象可知y=[lnx/x?1]在（1，e）单调递减，
故当x∈（1，e）时，
lnx
x?1＞
lne
e?1＝