试问a为何值时，函数f（x）=asinx+[1/3]sin3x在x=[π/3]处取得极值，并求此极值．

解题思路：首先由函数取得极值的必要条件可得：f′(

π

3

)=0，计算可得a的值；然后判断函数在x0＝

π

3

处的二阶导数的符号，从而可以函数计算在x0＝

π

3

处取得极大值还是极小值，最后计算f（x）在x0＝

π

3

处的值即可．

因为f′（x）=acosx+cos3x，
又因为f（x）在x0＝
π
3处取得极值，
所以，f′(
π
3)=0，即：
acos
π
3+cosπ＝0，
计算可得，a=2．
因为f″(
π
3)＝−asin
π
3−3sinπ＝−
3＜0，
所以f（x）在x0＝
π
3处取得极大值，极大值为：f(
π
3)＝2sin
π
3+
1
3sinπ＝
3．

点评：
本题考点： 极值点和驻点的定义和求法；求函数的极值点．

考点点评： 本题考查了函数取得极值的必要条件以及计算函数极值的方法，是一个基础型题目，难度系数不大．求解函数的极值是一个常考知识点，需要熟练掌握．

a=2 是极大值 极值为根号3

f(x)=asinx+(1/3)sin3x求导
f'(x)=acosx+(1/3)*3cos3x
=acosx+cos3x
x=兀/3时， f'(x)=acos（兀/3）+cos（兀）=0
a=2√3/3
极小值
f(x)=2√3sin(兀/3) /3+(1/3)sin兀
=√3/3

先对f（x)求导 =acosx+cos3x
在x=兀/3处取得极值，就是上式在x=兀/3的情况下等于0的情况
即acos(兀/3）+cos兀=0 化简求得a=2
极大值
将x=兀/3代入f(x)=asinx+(1/3)sin3x得到f（兀/3）=根号3