过圆x2+y2=1上一点P作圆的切线与X轴和Y轴分别交于A,B两点,O是坐标原点,则OA+8OB的最小值是＿

设OA=X,OB=Y
OA+8OB=X+8Y>=2√(X*8Y) 当 X=8Y 时有最小值2√(X*8Y).
连接D(0,1),C(8,0).得两直角边为1,8的三角形,其斜边长√65,其斜边上的高OE=8/√65,
作该圆切线平行于BD,切点P.切线与X轴和Y轴分别交于A,B两点.有
OB/OD=OA/OC=OP/OE
Y/1=X/8=1/(8/√65),X=√65,Y=√65/8
OA+8OB=X+8Y>=2√(X*8Y)=2√65
OA+8OB的最小值是＿2√65

是8

以P点在第一象限考虑，其实P点在其他象限考虑。设B（0，y），A（x，0）．
则OA+8OB＝8y＋x=f(x)
有条件x^2+y^2=1
拉格朗日条件极值
f'x（x,y）+a2x=0
f'y(x,y)+a2y=0
x^2+y^2=1
解得：x=根号（1/65）或者-根号（1/65）
y=8根号（1/65）或者-8根号（1/65）

最小值是2
设P(cosX,sinX);(0设A(a,0),B(0,b);
因为OP⊥AB
那么a=1/cosX; b=1/cos(90°-X）=1/sinX
(因为x∈(0,90°),所以sinX>0,cosX>0,根据 a+b≥2根号(ab)定理可得)
所以OA+8OB=1/cosX + 8/sinX≥2根号(8/sinXcos...