设f（x）在[0,1]上二阶导数连续,f（0）=f（1）=0,并且当x属于（0,1）时,|f‘‘（x）|小于等于A,求证

设f（x）在[0,1]上二阶导数连续,f（0）=f（1）=0,并且当x属于（0,1）时,|f‘‘（x）|小于等于A,求证
：|f’（x）|小于等于二分之A,x∈[0,1].
清水泠泠 1年前 已收到1个回答 举报
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二十一世纪的和尚 幼苗

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f(0)=f(x)-f'(x)x+f''(ξ）x^2 /2
f(1)=f(x)-f'(x)(x-1)+f''(η）(x-1)^2 /2
两式相减,f'(x)=[f''(ξ)*x^2 - f''(η)*(x-1)^2] /2
|f'(x)|

1年前 追问

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清水泠泠 举报

最后一步两式相减得不出结论的吧，不等式能这么减吗？

举报 二十一世纪的和尚

当然能，且让我慢慢道来 两式相减,0=0-f'(x)+[f''(ξ)x^2 - f''(η(x-1)^2]/2 f'(x)=[f''(ξ)x^2 - f''(η)(x-1)^2]/2 |f'(x)|=|f''(ξ)x^2 - f''(η)(x-1)^2|/2<=(|f''(ξ)|x^2 +|f''(η)x-1)^2)/2<=A/2*(x^2+(x-1)^2)=A/2(2x^2-2x+1) <=A/2
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