一高等数学,设有数列设有数列x1=√5,x2=√（5+√5）,...,xn=√（5+x（n-1））,...,利用极限存在

一高等数学,设有数列
设有数列x1=√5,x2=√（5+√5）,...,xn=√（5+x（n-1））,...,利用极限存在的单调有界准则证明数列（xn）的极限存在,并求出他的极限

天边一抹绿 1年前已收到1个回答举报

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这个题主要考察单调有界收敛准则
先写递推公式 xn=√5+x（n-1）
有数学归纳法的：x1《x2成立
假设x（n-1）《xn x（n+1）=√5+xn
xn =√5+x（n-1）
所以原假设成立.该数列单调增
下面证明有界性
x1=√5《3成立假设xn《3
则x（n+1）=√5+xn《3成立
原假设成立故该数列单调有界.所以xn有极限
令xn的极限=a xn=√5+x（n-1）对这个式子两边求极限
得a=√a+5 解得a=（1+√21）/2 （a》0）即为所求

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