已知函数fn（x）=xn（1-x）2在（[1/4]，1）上的最大值为an（n=1，2，3，…）．

（1）∵f_n（x）=xⁿ（1-x）²，
∴fn′(x)＝nxn−1(1−x)2−2xn(1−x)
=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]
=（n+2）x^n-1（x-1）（x-[n/n+2]），…（2分）
当x∈（[1/4]，1）时，由fn′(x)＝0，知：x=[n/n+2]，…（3分）
∵n≥1，∴[n/n+2∈(
1
4，1)，…（4分）
∵x∈（
1
4]，[n/n+2]）时，fn′(x)＞0；x∈（[n/n+2，1）时，fn′（x）＜0；
∴f（x）在（
1
4，
n
n+2]）上单调递增，在（[n/n+2，1）上单调递减
∴fn(x) 在x=
n
n+2]处取得最大值，
即an＝(
n
n+2)n(
2
n+2)2=
4nn
(n+2)n+2．…（6分）
（2）当n≥2时，欲证
4nn
(n+2)n+2≤[1
(n+2)2，
只需证明（1+
2/n]）ⁿ≥4，…（7分）
∵（1+[2/n]）ⁿ=
C0n+
C1n(
1
2)+
C2n(
2
n)2+…+
Cnn•(
2
n)n
≥1+2+
n(n−1)
2•
4
n2≥1+2+1=4，…（9分）
∴当n≥2时，都有an≤
1
(n+2)2成立． …（10分）
（3）S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜[4/27+
1
42+
1
52+
1
62+…+
1
(n+2)2]
＜[4/27+(
1
3−
1
4)+(
1
4−
1
5)+(
1
5−
1
6)+…(
1
n+1−
1
n+2)
=
4
27+
1
3−
1
n+2]＜[13/27]．
∴对任意正整数n，都有Sn＜
13
27成立．…（13分）

点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

1年前

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