（2014•广安一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径

（2014•广安一模）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，以OA，OB为邻边作一个平行四边形OAQB，记直线OQ与椭圆交于P点，且满足

|OQ|

|OP|

=λ（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

MM16 1年前已收到1个回答举报

yueyuan511 幼苗

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解题思路：（1）利用椭圆的离心率为

/2]，求出a，b的关系，结合以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

=0相切，求出a，b的值，即可得出结论；
（2）设AB：y=k（x-2），直线代入椭圆方程，利用韦达定理，确定Q的中点，进而可得P的坐标，代入椭圆方程，即可得出结论．

（1）由题意知椭圆的离心率为

2
2，∴
a2−b2
a2＝
1
2，即a²=2b²
又∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
2=0相切
∴b=

2

1+1=1，
∴a²=2，b²=1．
故椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1；
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
直线代入椭圆方程可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²＜[1/2]，
x₁+x₂=
8k2
1+2k2，x₁x₂=
8k2−2
1+2k2．
∴AB的中点为（
4k2
1+2k2，[−2k
1+2k2），
∴Q（

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．

1年前

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