已知曲线 ： .（Ⅰ）当 时，求曲线 的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）设斜率为 的两条直线与曲线 相切于 两点，求证： 中点

已知曲线 ： .
（Ⅰ）当 时，求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）设斜率为 的两条直线与曲线 相切于 两点，求证： 中点 在曲线 上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，又已知直线 的方程为： ，求 的值．
（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ） .


试题分析：（Ⅰ）当 时,先求导，通过斜率为1得到切点.然后利用点斜式得到所求切线方程；（Ⅱ）先将 两点的坐标设出，其中纵坐标用相应点的横坐标表示.再由导数的几何意义，得到 两点横坐标满足 .从而得到 中点 ，又 中点 在曲线 上 ，显然成立．得证；（Ⅲ）由 中点在直线 ，又在曲线 ，从而得 ，再反代如直线与曲线联立得方程，得到 两点的坐标，代入导函数中得到斜率，从而得到 .
试题解析：（Ⅰ）当 时， ，
设切点为 ，由 ，切点为
故 为所求．(4分)
（Ⅱ） ，设 ，
由导数的几何意义有


中点 ，即 ，
又 中点 在曲线 上 ，显然成立．得证．(8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 中点 的横坐标为 ，且