（2013•哈尔滨一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex．

（Ⅰ）φ(x)＝f(x)−
x+1
x−1=lnx−
x+1
x−1，φ′(x)＝
1
x+
2
(x−1)2＝
x2+1
x•(x−1)2．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）证明：∵f′(x)＝
1
x，∴f′(x0)＝
1
x0，
∴切线l的方程为y−lnx0＝
1
x0(x−x0)，
即y＝
1
x0x+lnx0−1，①（6分）
设直线l与曲线y=g（x）相切于点(x1，ex1)，
∵g'（x）=e^x，∴ex1＝
1
x0，∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直线l也为y−
1
x0＝
1
x0(x+lnx0)，
即y＝
1
x0x+
lnx0
x0+
1
x0，②（9分）
由①②得 lnx0−1＝
lnx0
x0+
1
x0，
∴lnx0＝
x0+1
x0−1．（11分）
下证：在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．