（2014•徐州三模）在数列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．

（1）由已知得a₃=70，a₄=180．
所以n=2时，a_n²-a_n-1a_n+1=-500；当n=3时，a_n²-a_n-1a_n+1=-500．…（2分）
猜想：a_n²-a_n-1a_n+1=-500（n≥2）．…（3分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，结论成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，结论成立，即a_k²-a_k-1a_k+1=-500，
将a_k-1=3a_k-a_k+1，代入上式，可得a_k²-3a_ka_k+1+a_k+1²=-500．
则当n=k+1时，a_k+1²-a_k+1a_k+2=a_k+1²-a_k（3a_k+1-a_k）=a_k+1²-3a_ka_k+1+a_k²=-500．
故当n=k+1结论成立，
根据①，②可得，a_n²-a_n-1a_n+1=-500（n≥2）成立．…（5分）
（2）将a_n-1=3a_n-a_n+1代入a_n²-a_n-1a_n+1=-500，得a_n²-3a_na_n+1+a_n+1²=-500，
则5a_n-1a_n+1=（a_n+a_n+1）²+500，5a_n-1a_n+1+1=（a_n+a_n+1）²+501，
设5a_n-1a_n+1+1=t²（t∈N^*），则t²-（a_n+a_n+1）²+501，
即[t-（a_n+a_n+1）][t+（a_n+a_n+1）]=501，…（7分）
又a_n+a_n+1∈N，且501=1×501=3×167，
故

an+an+1−t＝−1
an+an+1+t＝501 或

an+an+1−t＝−3
an+an+1+t＝167
所以

t＝251
a

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数列的综合运用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．