海波旷 春芽
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(1)f(x)的定义域是(-∞,2),f′(x)=
1
x−2+a,
由题知f′(0)=−
1
2+a=
1
2,∴a=1∴f′(x)=
1
x−2+1=
x−1
x−2
令f'(x)=0,得x=1,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
所以f(x)在x=1处取得极大值1,无极小值;
(2)g(x)=ln(2−x)+(k+1)x,g′(x)=
1
x−2+(k+1),
由题知g'(x)≥0在(-∞,1)上恒成立,即k≥
1
2−x−1在(-∞,1)上恒成立,
∴x<1,∴2-x>1,∴0<
1
2−x<1,
∴−1<
1
2−x−1<0,∴k≥0,
即实数k的取值范围是[0,+∞);
(3)an+1=f(an)=ln(2-an)+an
(i)当n=1时,由题意知0<a1<1;
(ii)假设n=k时,有0<ak<1,
则n=k+1时,∵ak+1=f(ak),f(x)在(0,1)上是增函数,
∴f(0)<f(ak)<f(1)
即f(0)<ak+1<f(1),即ln2<ak+1<1,
又ln2>0
∴0<ak+1<1,即n=k+1时,求证的结论也成立
由(i)(ii)可知对一切n∈N*,0<an<1.
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;数列与函数的综合.
考点点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负判断函数的增减性并根据函数的增减性得到函数的极值,会利用数学归纳法进行证明,是一道综合题.
1年前
你能帮帮他们吗