关于复合函数的极限运算法则的小问题?
关于复合函数的极限运算法则的小问题?
在高数书上有道题求极限的有个步骤是这样的：lim e^ln y=e^lim ln y,这个是根据什么来的呢?类似的还有恒等式lim u^v=e^lim vln u,我知道做题时这个恒等式用得很多,但是怎么来的我始终模模糊糊的,PS：x=e^ln x,这个我知道.但是lim 跑到指数里去是怎么用的,很纠结~
在高数书上有道题求极限的有个步骤是这样的：lim e^ln y=e^lim ln y,这个是根据什么来的呢?类似的还有恒等式lim u^v=e^lim vln u,我知道做题时这个恒等式用得很多,但是怎么来的我始终模模糊糊的,PS：x=e^ln x,这个我知道.但是lim 跑到指数里去是怎么用的,很纠结~
赞 娟子520 幼苗
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有个定理（也许是引理?……）：
若lim(x→x0)f(x)=y0,lim(y→y0)g(y)=l,且存在正数a使得在(x0-a,x0+a)内f(x)≠y0,则lim(x→x0)g(f(x))=l （证明就是直接把极限的定义套进去就完了）
在这里,f(x)=lnx,g(y)=e^y,可以看出f(x)确实满足那个看起来很奇葩的条件“存在正数a使得在(x0-a,x0+a)内f(x)≠y0”.
严格的说法就是,你做到最后发现lim(x→x0)f(x)（即lnx）存在(=y0),且lim(y→y0)g(y)（即e^y）存在(=g(y0))（因为g连续嘛）,所以原极限=lim(x→x0)g(f(x))=g(y0)
若lim(x→x0)f(x)=y0,lim(y→y0)g(y)=l,且存在正数a使得在(x0-a,x0+a)内f(x)≠y0,则lim(x→x0)g(f(x))=l （证明就是直接把极限的定义套进去就完了）
在这里,f(x)=lnx,g(y)=e^y,可以看出f(x)确实满足那个看起来很奇葩的条件“存在正数a使得在(x0-a,x0+a)内f(x)≠y0”.
严格的说法就是,你做到最后发现lim(x→x0)f(x)（即lnx）存在(=y0),且lim(y→y0)g(y)（即e^y）存在(=g(y0))（因为g连续嘛）,所以原极限=lim(x→x0)g(f(x))=g(y0)
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